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半径为 $R$ 的球内部装入 $4$ 个相同的半径为 $r$ 的小球，则小球半径 $r$ 可能的最大值是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}R$
B: $\dfrac{{\sqrt 6 }}{{3 + \sqrt 6 }}R$
C: $\dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }}R$
D: $\dfrac{{\sqrt 5 }}{{2 + \sqrt 5 }}R$
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间组合体
    >
    空间几何体的接切
【答案】
B
【解析】
如图，四个球的球心组成棱长为 $2r$ 的正四面体，且 $OA = OB = OC = OD = R - r$．解得 $OA = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}r$，所以 $r = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{3 + \sqrt 6 }}R$．
题目 答案 解析 备注
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