若函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\left(x,y\in {\mathbb{R}}\right)$，则下列各式恒成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
令 $x=0$，$y=0$，则 $f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)$，
$\therefore f\left(0\right)=0$；
令 $x=2$，$y=1$，则 $f\left(3\right)=f\left(2+1\right)=f\left(2\right)+f\left(1\right)$．
再令 $x=1$，$y=1$，则 $f\left(2\right)=f\left(1\right)+f\left(1\right)$，
$\therefore f\left(3\right)=f\left(1\right)+f\left(1\right)+f\left(1\right)=3f\left(1\right)$．
令 $x=y={\dfrac{1}{2}}$，则 $f\left(1\right)=2f \left({\dfrac{1}{2}}\right)$，
$\therefore f \left({\dfrac{1}{2}} \right)={\dfrac{1}{2}}f\left(1\right)$．
$\therefore f\left(0\right)=0$；
令 $x=2$，$y=1$，则 $f\left(3\right)=f\left(2+1\right)=f\left(2\right)+f\left(1\right)$．
再令 $x=1$，$y=1$，则 $f\left(2\right)=f\left(1\right)+f\left(1\right)$，
$\therefore f\left(3\right)=f\left(1\right)+f\left(1\right)+f\left(1\right)=3f\left(1\right)$．
令 $x=y={\dfrac{1}{2}}$，则 $f\left(1\right)=2f \left({\dfrac{1}{2}}\right)$，
$\therefore f \left({\dfrac{1}{2}} \right)={\dfrac{1}{2}}f\left(1\right)$．
题目
答案
解析
备注
