曲线 $f(x)=x^2-1$ 与曲线 $g(x)=\ln{x}$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ACD
【解析】
注意 $y=x-1$ 为函数 $g(x)$ 在点 $(1,0)$ 处的切线，如图．
由于 $f'(1)=2\ne 1$，于是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $(1,0)$ 处相交．又考虑到函数 $f(x)$ 下凸，函数 $g(x)$ 上凸，因此在区间 $(0,+\infty)$ 上函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有两个交点 $x_1,x_2$ 满足 $0<x_1<x_2=1$，由拉格朗日中值定理容易得到存在 $\xi_1,\xi_2\in(0,1)$，使得\[f'(\xi_1)=g'(\xi_2)=k_{AB},\]其中 $A,B$ 是两条曲线的交点，于是曲线 $f(x)=x^2-1$ 与曲线 $g(x)=\ln{x}$ 存在互相平行的切线．
由于 $f'(1)=2\ne 1$，于是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $(1,0)$ 处相交．又考虑到函数 $f(x)$ 下凸，函数 $g(x)$ 上凸，因此在区间 $(0,+\infty)$ 上函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有两个交点 $x_1,x_2$ 满足 $0<x_1<x_2=1$，由拉格朗日中值定理容易得到存在 $\xi_1,\xi_2\in(0,1)$，使得\[f'(\xi_1)=g'(\xi_2)=k_{AB},\]其中 $A,B$ 是两条曲线的交点，于是曲线 $f(x)=x^2-1$ 与曲线 $g(x)=\ln{x}$ 存在互相平行的切线．
题目
答案
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备注
