考虑函数 $h(x)=x^2-1-\ln x$，则其导函数\[h'(x)=\dfrac{2x^2-1}{x},\]于是函数 $h(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,+\infty\right)$ 上单调递增，在 $x=\dfrac{\sqrt 2}2$ 处取得极小值，亦为最小值\[h\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\dfrac{\ln 2-1}2<0.\]对于选项AB，由于 $h(1)=0$ 且 $h'(1)=1\ne 0$，于是两条曲线在点 $(1,0)$ 处相交；
对于选项C，当 $x=\dfrac{\sqrt 2}2$ 时，有 $f'(x)=g'(x)$，对应的两条切线相互平行（事实上只需要考虑 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 的取值范围有公共元素即可）；
对于选项D，注意到\[\lim_{x\to 0^+}h(x)=\lim_{x\to +\infty}h(x)=+\infty,\]于是 $h(x)$ 有两个零点，对应 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有两个交点．