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设函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{a}{2}{x^2} + bx + c$，其中 $a > 0$．曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $P\left( {0 , f\left( 0 \right)} \right)$ 处的切线方程为 $y = 1$．若过点 $\left( {0 , 2} \right)$ 可作曲线 $y = f\left( x \right)$ 的三条不同切线，则实数 $a^3$ 的值可能是 \((\qquad)\) ．
A: $23$
B: $24$
C: $25$
D: $26$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的切线
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    三次函数的图象与性质
    >
    三次函数的切线条数
【答案】
CD
【解析】
$f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=x^2-ax+b,$$于是该函数在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=bx+c$，因此 $b=0$，$c=1$．函数 $f(x)$ 的对称中心为 $\left(\dfrac a2,-\dfrac {a^3}{12}+1\right)$，于是在对称中心处的切线方程为$$y=-\dfrac{a^2}4\left(x-\dfrac a2\right)-\dfrac{a^3}{12}+1,$$根据三次函数的切线条数结论 $(1)$，可得$$1<2<\dfrac{a^3}{24}+1,$$解得 $a^3>24$，于是选项CD正确．
题目 答案 解析 备注
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