设这个三位数是 $\overline{abc}$，则根据题意，有\[a!+b!+c!=100a+10b+c,\]注意到\[\begin{matrix}\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
n!&1&1&2&6&24&120&720&5040\\ \hline \end{matrix}\]于是 $a,b,c\leqslant 5$，且 $b,c$ 中至少有一个 $5$．
情形一 $b=5$ 且 $c\ne 5$．此时 $a=1$，于是\[121+c!=150+c,\]无解．
情形二 $c=5$ 且 $b\ne 5$．此时 $a=1$，于是\[121+b!=105+10b,\]解得 $b=4$，此时三位数为 $145$，各位数字之和为 $10$．
情形三 $b=5$ 且 $c=5$，此时 $a=2$，不符合题意．
综上所述，此三位数的各位数字之和为 $10$．