已知正整数 $n$ 满足 $n\ne 2017$，且 $n^n$ 与 $2017^{2017}$ 有相同的个位数字，则 $|2017-n|$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
由于对任意正整数 $n,p,q$ 有\[n^{4p+q}\equiv n^q \pmod{10},\]有\[2017^{2017}\equiv 7\pmod {10}.\]由 $n^n\equiv 7\pmod{10}$，可得 $n$ 的个位数字只可能为 $3,7$．
情形一 $n$ 的个位数字为 $3$．此时其方幂的个位数字按 $3,9,7,1$ 循环，因此\[n\equiv 3\pmod 4,\]当 $n=2023$ 时，$|2017-n|$ 最小，为 $6$．
情形二 $n$ 的个位数字为 $7$．此时其方幂的个位数字按 $7,9,3,1$ 循环，因此\[n\equiv 1\pmod 4,\]于是 $|2017-n|$ 至少为 $20$．
综上所述，$|2017-n|$ 的最小值为 $6$．
综上所述，$|2017-n|$ 的最小值为 $6$．
题目
答案
解析
备注
