一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出 $4$ 个玻璃球，这 $4$ 个球都是红色的概率为 $p_1$，恰好有三个红色和一个白色的概率为 $p_2$，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为 $p_3$，四种颜色各一个的概率为 $p_4$，若恰好有 $p_1=p_2=p_3=p_4$，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
假设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球个数为 $a,b,c,d$，则\[{\rm C}_a^4={\rm C}_a^3\cdot {\rm C}_b^1={\rm C}_a^2\cdot {\rm C}_b^1\cdot {\rm C}_c^1={\rm C}_a^1\cdot {\rm C}_b^1\cdot {\rm C}_c^1\cdot {\rm C}_d^1,\]即\[a(a-1)(a-2)(a-3)=4a(a-1)(a-2)b=12a(a-1)bc=24abcd,\]也即\[\begin{cases}a-3=4b,\\ a-2=3c,\\ a-1=2d.\end{cases}\]由于\[\begin{cases}a\equiv 3\pmod 4,\\ a\equiv 2\pmod 3,\\ a\equiv 1\pmod 2,\end{cases}\]于是\[a\equiv 11\pmod {12},\]进而 $a$ 的最小值为 $11$．因此这个盒子里玻璃球的个数最小为\[a+b+c+d=a+\dfrac{a-3}4+\dfrac{a-2}3+\dfrac{a-1}2=11+2+3+5=21.\]
题目
答案
解析
备注
