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有多少个平面距离正四面体的 $4$ 个顶点的距离都相等？ \((\qquad)\)
A: $4$
B: $6$
C: $8$
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的距离
    >
    点面距离
【答案】
D
【解析】
按平面两侧中正四面体的顶点数分类．
情形一一侧有 $1$ 个顶点，另外一侧有 $3$ 个顶点．此时四个顶点对应的中截面符合要求，共 $4$ 个．
情形二两侧各有 $2$ 个顶点．此时两组对棱的四个中点构成的平行四边形所在的平面符合要求，共 $3$ 个．
综上所述，符合题意的平面共有 $7$ 个．
题目 答案 解析 备注
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