查看数据源：59b9dfdcb3e1920008f9698b
有多少个互不相似的三角形 $ABC$ 满足 $\sin A=\cos B=\tan C$？ \((\qquad)\)
A: $0$
B: $1$
C: $2$
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角方程与不等式
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的零点
【答案】
B
【解析】
根据题意，有 $A=\dfrac {\pi}2+B$，于是 $C=\dfrac{\pi}2-2B$．因此\[\cos B=\tan\left(\dfrac{\pi}2-2B\right).\]考虑函数\[f(x)=\cos x-\cot 2x,x\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right),\]其导函数\[f'(x)=\dfrac{2}{\sin^22x}-\sin x>0,\]因此函数 $f(x)$ 单调递增．又\[\lim_{x\to 0}f(x)=-\infty,\lim_{x\to \frac{\pi}4}f(x)=\dfrac{\sqrt 2}2>0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上有且仅有 $1$ 个零点，所以只有一组解 $(A,B,C)$ 符合题意．
题目 答案 解析 备注
0.107777s