整数 $p,q$ 满足 $p+q=218$，$x^2+px+q=0$ 有整数根，满足这样条件的整数对 $(p,q)$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $x^2+px+q=0$ 的两根分别为 $x_1,x_2$，则\[x_1+x_2=-p,x_1\cdot x_2=q,\]根据题意，$x_1,x_2\in\mathbb Z$．因此\[x_1\cdot x_2-\left(x_1+x_2\right)=218,\]也即\[\left(x_1-1\right)\cdot \left(x_2-1\right)=219,\]而 $219=3\cdot 73$，于是对应的解共有 $4$ 组．
题目
答案
解析
备注
