设三角形 $ABC$ 的三边长分别为 $k-1,k,k+1$，则\[(k-1)+k>k+1,\]于是 $k\geqslant 3$．
不妨设 $A>B>C$，则根据余弦定理，三个内角 $A,B,C$ 的余弦值分别为\[\begin{split}\cos A&=\dfrac{k^2+(k-1)^2-(k+1)^2}{2k(k-1)}=\dfrac{k-4}{2k-2}\\
\cos B&=\dfrac{(k-1)^2+(k+1)^2-k^2}{2(k-1)(k+1)}=\dfrac{k^2+2}{2k^2-2}\\
\cos C&=\dfrac{k^2+(k+1)^2-(k-1)^2}{2k(k+1)}=\dfrac{k+4}{2k+2},\end{split}\]容易知道随着 $k$ 的增大，$\cos A$ 增大，$\cos B,\cos C$ 减小，于是 $A$ 减小，$B,C$ 增大．接下来验证有限的几个 $k$ 即可．
当 $k=3$ 时，有\[\left(\cos A,\cos B,\cos C\right)=\left(-\dfrac 14,\dfrac{11}{16},\dfrac 78\right),\]不符合题意．
当 $k=4$ 时，有\[\left(\cos A,\cos B,\cos C\right)=\left(0,\dfrac 35,\dfrac 45\right),\]不符合题意．
当 $k=5$ 时，有\[\left(\cos A,\cos B,\cos C\right)=\left(\dfrac 18,\dfrac {9}{16},\dfrac 34\right),\]有 $A=2C$，符合题意．
当 $k\geqslant 6$ 时，由于 $A$ 减小，$C$ 增大，必然有 $A<2C$，不符合题意．
综上所述，这个三角形的三边长为 $4,5,6$．