已知 $ - 6 \leqslant {x_i} \leqslant 10$（$i = 1, 2, \cdots , 10$），$\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}} = 50$，当 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{10} {x_i^2} $ 取得最大值时，在 ${x_1}, {x_2}, \cdots , {x_{10}}$ 这 $10$ 个数中等于 $-6$ 的数共有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年清华大学（高水平大学）自主选拔学业能力测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
当 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2} $ 取得最大值时，在 $x_i$ 中存在两个数 $x_i,x_j\in(-6,10),x_i\leqslant x_j$，则令 $x=\min\{10-x_j,x_i+6\}$，则 $x>0$，且 $x_i-x\geqslant -6,x_j+x\leqslant 10$，且有$$(x_i-x)^2+(x_j+x)^2=x_i^2+x_j^2+2x^2+2x(x_j-x_i)>x_i^2+x_j^2,$$矛盾，所以 $x_i,i=1,2,\cdots,10$ 中至多只有一个数不等于 $-6$ 或 $10$．
假设其中有 $x$ 个 $-6$，则有 $9-x$ 个 $10$，剩下的一个数为$$50-(-6)x-10(9-x)=16x-40\in(-6,10),$$解得 $x=3$．
假设其中有 $x$ 个 $-6$，则有 $9-x$ 个 $10$，剩下的一个数为$$50-(-6)x-10(9-x)=16x-40\in(-6,10),$$解得 $x=3$．
题目
答案
解析
备注
