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设抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，点 $M$ 在 $C$ 上，$|MF|=5$．若以 $MF$ 为直径的圆过点 $(0,2)$，则 $C$ 的方程为 \((\qquad)\)
A: $y^2=4x$ 或 $y^2=8x$
B: $y^2=2x$ 或 $y^2=8x$
C: $y^2=4x$ 或 $y^2=16x$
D: $y^2=2x$ 或 $y^2=16x$
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的定义
【答案】
C
【解析】
一方面，根据抛物线的定义易得以 $MF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切，结合题意可得切点为 $(0,2)$，于是线段 $MF$ 的中点纵坐标为 $2$，进而 $M$ 点的纵坐标为 $4$，于是 $M\left(\dfrac{8}{p},4\right)$．另一方面，由 $MF=5$，可得 $M$ 点的横坐标为 $5-\dfrac p2$．因此\[\dfrac 8p=5-\dfrac p2,\]解得 $p=2$ 或 $p=8$．
题目 答案 解析 备注
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