设函数 $f\left( x \right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的奇函数，且对任意的 ${x_1}, {x_2} \in \left[ {1 ,a} \right]$，当 ${x_2} > {x_1}$ 时，总有 $f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right) > 0$，则下列不等式一定成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ABD
【解析】
由题意知 $f(x)$ 在 $[1,a]$ 上单调递增，且 $f(1)>0$．
因为 $f\left( 0 \right) = 0$，所以 A正确；
因为 $a > 1$ 时，$\dfrac{{1 + a}}{2} > \sqrt a $，所以 B 正确；
因为 $f\left( x \right)$ 是奇函数，所以 $f\left({\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right)> f\left({ - 3} \right) \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( 3 \right) $，虽然 $ \dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}} < 3 $，但 $a$ 与 $3$ 的大小关系不确定，所以 C不正确；
因为 $ f\left( x \right) $ 是奇函数，所以 $ f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right) \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( a \right)$，而$$ \dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}-1=\dfrac {2(a-1)}{a+1}>0,\dfrac {3a-1}{a+1}-a=-\dfrac {(a-1)^2}{a+1}<0,$$所以 $1<\dfrac {3a-1}{a+1}<a$，所以 D 正确．
因为 $f\left( 0 \right) = 0$，所以 A正确；
因为 $a > 1$ 时，$\dfrac{{1 + a}}{2} > \sqrt a $，所以 B 正确；
因为 $f\left( x \right)$ 是奇函数，所以 $f\left({\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right)> f\left({ - 3} \right) \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( 3 \right) $，虽然 $ \dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}} < 3 $，但 $a$ 与 $3$ 的大小关系不确定，所以 C不正确；
因为 $ f\left( x \right) $ 是奇函数，所以 $ f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right) \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( a \right)$，而$$ \dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}-1=\dfrac {2(a-1)}{a+1}>0,\dfrac {3a-1}{a+1}-a=-\dfrac {(a-1)^2}{a+1}<0,$$所以 $1<\dfrac {3a-1}{a+1}<a$，所以 D 正确．
题目
答案
解析
备注
