在已知条件中令 $x=2$，可得 $f'(2)=0$．注意到$$\left(x^2f(x)\right)'=x^2f'(x)+2xf(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x},$$于是由题中条件，有$$x^2f'(x)=\frac{\mathbb {\mathrm e}^x}x-2xf(x),$$进而$$ x^3f'(x)=\mathbb {\mathrm e}^x-2x^2f(x),$$两边求导可得$$\left(x^3f'(x)\right)'={\mathrm e}^x-2\cdot\frac{\mathbb {\mathrm e}^x}{x}=\mathbb {\mathrm e}^x\cdot\frac{x-2}x,$$于是函数 $y=x^3f'(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增．结合该函数在 $x=2$ 处的函数值为 $0$，可得 $y=x^3f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上没有变号零点，于是 $y=f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上也没有变号零点，进而 $y=f(x)$ 在 $x>0$ 时既无极大值，又无极小值，选D．