已知函数 $f(x)$ 满足 $\left(xf(x)\right)'=\ln x$，$f(1)=0$，则 $f(x)$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
令 $g(x)=xf(x)$，则$$g'(x)=\ln x,f(x)=\dfrac {g(x)}{x}.$$要研究 $f(x)$ 有极值，对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac {xg'(x)-g(x)}{x^2}=\dfrac {x\ln x-g(x)}{x^2}.$$令 $h(x)=x\ln x-g(x)$，则 $h(1)=0,h'(x)=1>0$，从而知 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上取负数，在 $(1,+\infty)$ 上取正值，从而 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．
事实上，由题意可以直接得到$$xf(x)=x\ln x-x+C,$$结合 $f(1)=0$ 得 $C=1$，从而有 $f(x)=\ln x-1+\dfrac 1x$．
事实上，由题意可以直接得到$$xf(x)=x\ln x-x+C,$$结合 $f(1)=0$ 得 $C=1$，从而有 $f(x)=\ln x-1+\dfrac 1x$．
题目
答案
解析
备注
