查看数据源：59096d9e39f91d0007cc92ea
设函数 $f(x)=\dfrac{a^2+a\sin x+2}{a^2+a\cos x+2}$（$x\in \mathbb R$）的最大值为 $M(a)$，最小值为 $m(a)$，则 \((\qquad)\)
A: $\forall a\in\mathbb R,M(a)\cdot m(a)=1$
B: $\forall a\in\mathbb R,M(a)+m(a)=2$
C: $\exists a\in \mathbb R,M(a)+m(a)=1$
D: $\exists a\in\mathbb R,M(a)\cdot m(a)=2$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    对称与对偶
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
A
【解析】
注意到 $f(x)$ 的分子与分母均恒正，因此 $M(a)\geqslant m(a)>0$，又$$f\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\dfrac{a^2+a\cos x+2}{a^2+a\sin x+2}=\dfrac{1}{f(x)},$$而函数 $f\left(\dfrac{\pi}2-x\right)$ 与函数 $f(x)$ 的最大值与最小值相同，因此必然有 $M(a)\cdot m(a)=1$．
题目 答案 解析 备注
0.109621s