如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，动点 $E,F$ 在棱 $A_1B_1$ 上，动点 $P,Q$ 分别在棱 $AD,CD$ 上，若 $EF=1$，$A_1E=x$，$DQ=y$，$DP=z$，且 $x,y,z>0$，则四面体 $PEFQ$ 的体积 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2010年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
延长 $QP$ 与 $BA$ 交于点 $R$，如图．
根据题意，四面体 $PEFQ$ 的体积$$V_{P-EFQ}=\dfrac{RP}{RQ}\cdot V_{R-EFQ}=\dfrac{RP}{RQ}\cdot V_{Q-EFR}=\dfrac{AP}{AD}\cdot V_{Q-EFR},$$而 $\triangle REF$ 的面积及 $Q$ 到平面 $EFR$ 的距离均为定值，因此四面体 $PEFQ$ 的体积只与 $P$ 点的位置有关，选项D正确．
根据题意，四面体 $PEFQ$ 的体积$$V_{P-EFQ}=\dfrac{RP}{RQ}\cdot V_{R-EFQ}=\dfrac{RP}{RQ}\cdot V_{Q-EFR}=\dfrac{AP}{AD}\cdot V_{Q-EFR},$$而 $\triangle REF$ 的面积及 $Q$ 到平面 $EFR$ 的距离均为定值，因此四面体 $PEFQ$ 的体积只与 $P$ 点的位置有关，选项D正确．
题目
答案
解析
备注
