已知点 $A,B,C$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上运动，且 $AB\perp BC$．若点 $P$ 的坐标为 $\left(2,0\right)$，则 $ \left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right|$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有 $AC$ 为圆的直径，考虑换底公式，有\[\begin{split} \left|\overrightarrow {PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right|&=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-3\overrightarrow{OP}\right|\\
&=\left|\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OP}\right|\\
&\leqslant \left|\overrightarrow{OB}\right|+3\left|\overrightarrow{OP}\right|\\
&=7,\end{split}\]等号当且仅当 $B,O,P$ 三点共线，且 $O$ 在线段 $BP$ 上时，也即 $B(-1,0)$ 时取得．因此所求的最大值为 $7$．
&=\left|\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OP}\right|\\
&\leqslant \left|\overrightarrow{OB}\right|+3\left|\overrightarrow{OP}\right|\\
&=7,\end{split}\]等号当且仅当 $B,O,P$ 三点共线，且 $O$ 在线段 $BP$ 上时，也即 $B(-1,0)$ 时取得．因此所求的最大值为 $7$．
题目
答案
解析
备注
