已知函数 $f(x)=x^2-2x+1+a\ln x$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{2x^2-2x+a}{x},$$根据题意，可得当 $a<\dfrac 12$ 时，函数 $f(x)$ 有两个极值点，且 $x_1<\dfrac 12<x_2$，$x_2$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,1\right)$．进而可得极大值$$M=f(x_2)=x_2^2-2x_2+1+\left(2x_2-2x_2^2\right)\ln x_2,$$令 $g(t)=t^2-2t+1+(2t-2t^2)\ln t,t\in\left[\dfrac 12,1\right]$，则$$g'(t)=2(1-2t)\ln t\geqslant 0,$$所以 $g(t)$ 在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递增，从而有$$g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac {1-2\ln 2}{4}\leqslant g(t)\leqslant g(1)=0.$$因为 $x_2>\dfrac 12$，所以 $f(x_2)>\dfrac {1-2\ln 2}{4}$．
题目
答案
解析
备注
