已知平面直角坐标系 $xOy$ 内的以原点为圆心的单位圆上有一点 $P$，过点 $P$ 有一个动圆与两坐标系均相切，则此圆的半径 $r$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
如图，设所求半径 $r$ 为 $\odot M$ 的半径，连接 $OM$ 交 $\odot M$ 于点 $Q$，设 $OQ=t$（$0<t\leqslant 1$）．因为 $\odot M$ 于两坐标轴均相切，所以$$MN=ON=r\land \angle{ONM}=90^{\circ}.$$在 ${\rm Rt}\triangle{ONM}$ 中，由勾股定理可得$$r+t=\sqrt 2r,$$即$$r=(\sqrt 2+1)t,$$所以，当 $t=1$ 时，即 $P$ 与 $Q$ 重合时，$r$ 取得最大值 $\sqrt 2+1$，此时 $\odot M$ 与 $\odot O$ 相切．
题目
答案
解析
备注
