$\triangle ABC$ 中，$BC=a,AC=b,AB=c$，则“$\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^2\dfrac{B}{2}+\sin^2\dfrac{C}{2}=\cos^2\dfrac{B}{2}$”的充要条件是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
利用二倍角公式，题中等式化为$$2-2\cos B=\cos A+\cos C,$$再结合和差化积公式，得$$4\sin^2\dfrac{B}{2}=2\cos\dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2},$$结合 $A,B,C$ 为三角形内角，则 $\sin\dfrac{B}{2}=\cos\dfrac{A+C}{2}$，于是$$2\sin\dfrac{B}{2}=\cos\dfrac{A-C}{2},$$两边同乘以 $\cos\dfrac{B}{2}$，结合积化和差，得$$2\sin B=\sin A+\sin C,$$再结合正弦定理，得 $2b=a+c$，因此题中等式的充要条件为 $2b=a+c$．
题目
答案
解析
备注
