若直线 $y=x-3$ 与曲线 $y={\rm e}^{x+a}$ 相切，则实数 $a$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
设切点的横坐标为 $x_0$．
因为在 $x=x_0$ 处，曲线 $y={\rm e}^{x+a}$ 的斜率为 ${\rm e}^{x_0+a}$，而直线 $y=x-3$ 的斜率为 $1$，所以$${\rm e}^{x_0+a}=1,$$得 $x_0=-a$．
因此，切点的纵坐标$${\rm e}^{x_0+a}=1=x_0-3,$$即 $1=-a-3$，所以 $a=-4$．
因为在 $x=x_0$ 处，曲线 $y={\rm e}^{x+a}$ 的斜率为 ${\rm e}^{x_0+a}$，而直线 $y=x-3$ 的斜率为 $1$，所以$${\rm e}^{x_0+a}=1,$$得 $x_0=-a$．
因此，切点的纵坐标$${\rm e}^{x_0+a}=1=x_0-3,$$即 $1=-a-3$，所以 $a=-4$．
题目
答案
解析
备注
