设 $S,T$ 是 ${\mathbb{R}}$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y = f\left( x \right)$ 满足：
① $T = \left\{ {f\left( x \right)\left|\right.x \in S} \right\}$；
② 对任意 ${x_1},{x_2} \in S$，当 ${x_1} < {x_2}$ 时，恒有 $f\left( {x_1} \right) < f\left( {x_2} \right)$；
那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是 \((\qquad)\)
① $T = \left\{ {f\left( x \right)\left|\right.x \in S} \right\}$；
② 对任意 ${x_1},{x_2} \in S$，当 ${x_1} < {x_2}$ 时，恒有 $f\left( {x_1} \right) < f\left( {x_2} \right)$；
那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
条件 ① 说明两个集合中的任意元素都在某个对应关系中；条件 ② 说明函数 $f(x)$ 单调递增．举例说明有符合条件的函数即可．
对于选项A，取 $f\left( x \right) = x -1$，满足题意．
对于选项B，取\[f\left( x \right) = {\begin{cases}
- 8,&x = - 1 ,\\
\dfrac 52x+\dfrac 52,& - 1 < x \leqslant 3,\\
\end{cases}}\]满足题意．
对于选项C，取\[f\left( x \right) = \tan \left[ {{\mathrm \pi} \left( {x - \dfrac 1 2 } \right)} \right],\]满足题意．
对于选项D，设 $f(1)=m$，$f(2)=n$，则 $m,n$ 均为有理数，$\dfrac{m+n}2$ 亦为有理数，设\[f(p)=\dfrac{m+n}2,\]则根据条件 ②，有\[1<p<2,\]这与 $p$ 是整数不符．因此该集合对不是“保序同构”．
对于选项A，取 $f\left( x \right) = x -1$，满足题意．
对于选项B，取\[f\left( x \right) = {\begin{cases}
- 8,&x = - 1 ,\\
\dfrac 52x+\dfrac 52,& - 1 < x \leqslant 3,\\
\end{cases}}\]满足题意．
对于选项C，取\[f\left( x \right) = \tan \left[ {{\mathrm \pi} \left( {x - \dfrac 1 2 } \right)} \right],\]满足题意．
对于选项D，设 $f(1)=m$，$f(2)=n$，则 $m,n$ 均为有理数，$\dfrac{m+n}2$ 亦为有理数，设\[f(p)=\dfrac{m+n}2,\]则根据条件 ②，有\[1<p<2,\]这与 $p$ 是整数不符．因此该集合对不是“保序同构”．
题目
答案
解析
备注
