设 $f\left( x \right) = {{\text{e}}^{ax}}\left( {a > 0} \right)$，过点 $P\left(a,0\right)$ 且平行于 $y$ 轴的直线与曲线 $C:y = f\left( x \right)$ 的交点为 $Q$，曲线 $C$ 过点 $Q$ 的切线交 $x$ 轴于点 $R$，则 $\triangle PQR$ 的面积可以是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年清华大学等五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
【标注】
【答案】
BCD
【解析】
由已知得$$Q\left( {a, {\mathrm{e}^{{a^2}}}} \right),f'\left( x \right) = a\cdot{\mathrm{e}^{ax}},$$故切线方程为$$y - {\mathrm{e}^{{a^2}}} = a\cdot{\mathrm{e}^{{a^2}}}\left( {x - a} \right), $$令 $y = 0$，解得 $x = a - \dfrac{1}{a}$，
所以 $R\left( {a - \dfrac{1}{a} , 0} \right)$，于是 $\triangle PQR$ 的面积$$S = \dfrac{1}{2}|PR| \cdot |PQ| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{a} \cdot {\mathrm{e}^{{a^2}}}.$$令 $g(a) = \dfrac{{{\mathrm{e}^{{a^2}}}}}{a}$，则$$g'(a) = \left( {2 - \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right){\mathrm{e}^{{a^2}}},$$可得 $g(a)$ 在 $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ 处取得最小值．
因此$$S_{\min } = \dfrac{1}{2}\cdot g\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt {2\mathrm{e}} }}{2}.$$
所以 $R\left( {a - \dfrac{1}{a} , 0} \right)$，于是 $\triangle PQR$ 的面积$$S = \dfrac{1}{2}|PR| \cdot |PQ| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{a} \cdot {\mathrm{e}^{{a^2}}}.$$令 $g(a) = \dfrac{{{\mathrm{e}^{{a^2}}}}}{a}$，则$$g'(a) = \left( {2 - \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right){\mathrm{e}^{{a^2}}},$$可得 $g(a)$ 在 $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ 处取得最小值．
因此$$S_{\min } = \dfrac{1}{2}\cdot g\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt {2\mathrm{e}} }}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
