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函数 $f(x)=x|x|$．若存在 $x\in[1,+\infty)$，使得 $f(x-2k)-k<0$，则 $k$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(2,+\infty\right)$
B: $\left(1,+\infty\right)$
C: $\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
D: $\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解函数不等式
【答案】
D
【解析】
显然 $k>0$，注意到 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，故\[f(x-2k)-k<0\Leftrightarrow f(x-2k)<f\left(\sqrt{k}\right)\Leftrightarrow x-2k<\sqrt{k},\]因此存在 $x\in[1,+\infty)$，使得 $f(x-2k)-k<0$ 等价于 $2k+\sqrt{k}>1$，解得 $k>\dfrac{1}{4}$．
题目 答案 解析 备注
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