已知 $\omega > 0$，$0 < \varphi < {\mathrm \pi} $，直线 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$ 和 $x = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{4}$ 是函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$ 图象的两条相邻的对称轴，则 $\varphi =$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考新课标全国卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
正弦型函数图象中，两相邻对称轴直间的距离为半个周期，且对称轴处的函数值为最值．由题设知，$\dfrac{\mathrm \pi} {\omega } = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{4} - \dfrac{\mathrm \pi} {4}$，
得 $\omega = 1$，所以\[\dfrac{\mathrm \pi} {4} + \varphi = k{\mathrm \pi} + \dfrac{\mathrm \pi} {2},\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right), \]解得\[
\varphi = k{\mathrm \pi} + \dfrac{\mathrm \pi} {4}\left({k \in {\mathbb{Z}}} \right).\]又因为 $0 < \varphi < {\mathrm \pi} $，所以 $\varphi = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$．
得 $\omega = 1$，所以\[\dfrac{\mathrm \pi} {4} + \varphi = k{\mathrm \pi} + \dfrac{\mathrm \pi} {2},\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right), \]解得\[
\varphi = k{\mathrm \pi} + \dfrac{\mathrm \pi} {4}\left({k \in {\mathbb{Z}}} \right).\]又因为 $0 < \varphi < {\mathrm \pi} $，所以 $\varphi = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$．
题目
答案
解析
备注
