若点 $O$ 和点 $F\left( - 2,0\right)$ 分别为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - {y^2} = 1$（$a > 0$）的中心和左焦点，点 $P$ 为双曲线右支上的任意一点，则 $\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {FP} $ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
将点 $P$ 坐标设出来，然后将 $\overrightarrow {OP}\cdot \overrightarrow {FP}$ 表示成关于 $x$ 的函数，求值域即可．由 ${2^2} = {a^2} + 1$，解得 $a = \sqrt 3 $．
设 $P\left(x,y\right)$，且 $x \geqslant \sqrt 3 $，则\[ \begin{split}\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {FP} &\overset{\left[a\right]}= \left( {x + 2} \right)x + y^2 \\&= {x^2} + 2x + \left(\dfrac{x^2}{3} - 1 \right) \\&= \dfrac{4}{3}{\left( {x + \dfrac{3}{4}} \right)^2} - \dfrac{7}{4},\end{split} \]（推导中用到：[a]）于是当 $x = \sqrt 3 $ 时，$\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {FP} $ 有最小值 $3 + 2\sqrt 3 $．
设 $P\left(x,y\right)$，且 $x \geqslant \sqrt 3 $，则\[ \begin{split}\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {FP} &\overset{\left[a\right]}= \left( {x + 2} \right)x + y^2 \\&= {x^2} + 2x + \left(\dfrac{x^2}{3} - 1 \right) \\&= \dfrac{4}{3}{\left( {x + \dfrac{3}{4}} \right)^2} - \dfrac{7}{4},\end{split} \]（推导中用到：[a]）于是当 $x = \sqrt 3 $ 时，$\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {FP} $ 有最小值 $3 + 2\sqrt 3 $．
题目
答案
解析
备注
