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已知函数 $f\left(x\right) = |\lg x|$，若 $ 0<a<b$，且 $ f\left(a\right)=f\left(b\right) $，则 $ a+2b $ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(2\sqrt 2 , + \infty \right)$
B: $\left[2\sqrt 2 , + \infty \right)$
C: $\left(3, + \infty \right)$
D: $\left[3, + \infty \right)$
【难度】
【出处】
2010年高考大纲全国I卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
利用已知条件得到关于 $ a,b$ 的关系式，代入所求代数式转化为对勾函数求最值的问题．由题意得 $0 < a < 1 < b$，由 $f\left(a\right) = f\left(b\right)$ 得 $ - \lg a = \lg b$，即 $\lg a + \lg b = 0$，所以 $ab = 1$，因此\[a + 2b = a + \dfrac{2}{a},\]由对勾函数性质知 $y = x + \dfrac{2}{x}$ 在 $\left(0,1\right)$ 上单调递减，因此 $a + 2b > 3$，即 $a + 2b$ 的取值范围是 $\left(3, + \infty \right)$．
题目 答案 解析 备注
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