设直线 $x = t$ 与函数 $f\left( x \right) = {x^2}$，$g\left( x \right) = \ln x$ 的图象分别交于点 $M,N$，则当 $|MN|$ 达到最小时 $t$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
先将 $\left|MN\right|$ 用 $t$ 表示，$\left|MN\right|$ 即 $f\left(t\right)-g\left(t\right)$，然后利用导数研究 $\left|MN\right|$ 的最值．由题可得 $|MN| = {t^2} - \ln t$ $\left( {t > 0} \right)$，不妨令 $h\left(t\right) = {t^2} - \ln t$，则 $h'\left( t \right) = 2t - \dfrac{1}{t}$，令 $h'\left( t \right) = 0$ 解得 $t = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
因为当 $t \in \left( {0,\dfrac{\sqrt 2 }{2}} \right)$ 时，$h'\left( t \right) < 0$，当 $t \in \left( {\dfrac{\sqrt 2 }{2}, + \infty } \right)$ 时，$h'\left( t \right) > 0$，
所以当 $t = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$ 时，$|MN|$ 达到最小，即 $t = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
因为当 $t \in \left( {0,\dfrac{\sqrt 2 }{2}} \right)$ 时，$h'\left( t \right) < 0$，当 $t \in \left( {\dfrac{\sqrt 2 }{2}, + \infty } \right)$ 时，$h'\left( t \right) > 0$，
所以当 $t = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$ 时，$|MN|$ 达到最小，即 $t = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$．
题目
答案
解析
备注
