设函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right) + \cos \left( {\omega x + \varphi } \right)\left( {\omega > 0,\left| \varphi \right| < \dfrac{{ {\mathrm \pi} }}{2}} \right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $，且 $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考新课标全国卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据周期得到 $\omega $，根据奇偶性得到 $ \varphi$，最后根据正弦型函数的性质分析选项即可．因为\[ \begin{split}f\left( x \right)& = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right) + \cos \left( {\omega x + \varphi } \right)\\& \overset{\left[a\right]}= \sqrt 2 \sin \left( {\omega x + \varphi + \dfrac{{ {\mathrm \pi} }}{4}} \right)\end{split} \]（推导中用到 $ \left[a\right]$．）的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $，所以 $\omega = 2$．
又因为 $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$，所以 $f\left( x \right)$ 为偶函数，所以根据三角函数的性质，得\[\varphi + \dfrac{\mathrm \pi} {4} = \dfrac{\mathrm \pi} {2} + k{\mathrm \pi} ,k \in {\mathbb{Z}},\]又 $\left| \varphi \right| < \dfrac {\mathrm \pi} {2} $，所以 $ \varphi = \dfrac{\mathrm \pi} {4} $，
所以\[f\left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {2x + \dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right) .\]所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$ 单调递减．
又因为 $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$，所以 $f\left( x \right)$ 为偶函数，所以根据三角函数的性质，得\[\varphi + \dfrac{\mathrm \pi} {4} = \dfrac{\mathrm \pi} {2} + k{\mathrm \pi} ,k \in {\mathbb{Z}},\]又 $\left| \varphi \right| < \dfrac {\mathrm \pi} {2} $，所以 $ \varphi = \dfrac{\mathrm \pi} {4} $，
所以\[f\left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {2x + \dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right) .\]所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$ 单调递减．
题目
答案
解析
备注
