已知函数 $f\left(x\right) = 2\sin \left(\omega x + \varphi \right)$，$x \in {\mathbb {R}}$，其中 $\omega > 0$，$ - {\mathrm \pi} < \varphi \leqslant {\mathrm \pi} $，若 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $6{\mathrm \pi} $，且当 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 时，$f\left(x\right)$ 取得最大值，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考天津卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
先根据正弦型函数的性质，得出函数 $ f\left(x\right) $ 的关系式，再根据其单调性选择出正确的结果．因为 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $6{\mathrm \pi} $，所以\[\omega=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{6{\mathrm \pi} }=\dfrac {1}{3}, \]又因为当 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 时，$f\left(x\right)$ 取得最大值，所以\[ \dfrac {\mathrm \pi} {6}+\varphi =\dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} , k \in \mathbb Z,\]又 $ - {\mathrm \pi} < \varphi \leqslant {\mathrm \pi} $，所以 $ \varphi =\dfrac {\mathrm \pi} {3} $，所以\[f\left(x\right) = 2\sin \left(\dfrac 13 x + \dfrac {\mathrm \pi} {3} \right).\]所以当 $ -\dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} \leqslant \dfrac 13 x + \dfrac {\mathrm \pi} {3} \leqslant \dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} $，$ k \in \mathbb Z $，即 $ -\dfrac {5{\mathrm \pi} }{2}+6k{\mathrm \pi} \leqslant x \leqslant \dfrac {\mathrm \pi} {2}+6k{\mathrm \pi} $ 时，函数 $ f\left(x\right) $ 单调递增．所以 A正确．
题目
答案
解析
备注
