设 $z$ 是复数，则下列命题中的假命题是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考陕西卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题考查复数的概念与运算．特别注意若一个复数可以比较大小，则该复数为实数．对于 C，当 $z=\mathrm i$ 时，$z^2=-1<0$．所以 C 是假命题，符合题意．
对于 A，B，设 $z=a+b\mathrm i$，则 $z^2=a^2-b^2+2ab\mathrm i$，若 $z^2\geqslant 0$，则 $a^2\geqslant b^2$ 且 $ab=0$，于是 $b=0$，$z$ 是实数，A 为真．若 $z<0$，则 $a^2<b^2$ 且 $ab=0$，于是 $a=0,b\ne 0$，$z$ 是虚数，所以 $B$ 为真．
对于 D，若 $z$ 是纯虚数，则可设 $z=mi\left(m\ne 0\right)$，于是 $z^2=-m^2<0$，所以 D 为真．
对于 A，B，设 $z=a+b\mathrm i$，则 $z^2=a^2-b^2+2ab\mathrm i$，若 $z^2\geqslant 0$，则 $a^2\geqslant b^2$ 且 $ab=0$，于是 $b=0$，$z$ 是实数，A 为真．若 $z<0$，则 $a^2<b^2$ 且 $ab=0$，于是 $a=0,b\ne 0$，$z$ 是虚数，所以 $B$ 为真．
对于 D，若 $z$ 是纯虚数，则可设 $z=mi\left(m\ne 0\right)$，于是 $z^2=-m^2<0$，所以 D 为真．
题目
答案
解析
备注
