函数 $f\left(x\right)$ 是单调递增的函数，故满足 $f\left(f\left(a\right)\right)=2^{f\left(a\right)}$ 的 $f\left(a\right)$ 必在区间 $\left[1,+\infty\right)$ 上，这是解此题的关键点．此题是考查复合函数，分段函数，以及函数的单调性的综合题．函数 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，令 $f\left(a\right)=t$，则 $f\left(t\right)=2^t$，于是 $t\geqslant 1$，即 $f\left(a\right)\geqslant 1$．因此 ① 当 $a\geqslant 1$ 时，$f\left(a\right)=2^a\geqslant 2$，成立．② 当 $a<1$ 时，$f\left(a\right)=3a-1$，令 $f\left(a\right)=3a-1\geqslant 1$，即 $1>a\geqslant \dfrac 23$．综上，$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 23,+\infty\right)$．