本小题是判断函数的奇偶性，首先需要熟悉初等函数函数的奇偶性，然后可以通过赋值，函数奇偶性的运算性质以及函数的奇偶性定义来判断．选项D，记函数为 $f\left(x\right)=x^2+\sin x$，$f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=\dfrac{{\mathrm \pi} ^2}{4}+1$，$f\left(-\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)=\dfrac{{\mathrm \pi} ^2}{4}-1$，所以函数 $y=x^2+\sin x$ 既不是奇函数也不是偶函数．
选项A，函数 $y=x$ 与函数 $y=\sin 2x$都是奇函数，由函数奇偶性的运算性质可得，函数 $y=x+\sin 2x$ 是奇函数．
选项B，函数 $y=x^2$ 与 $y=\cos x$都是偶函数，由函数奇偶性的运算性质可得，函数 $y=x^2-\cos x$ 为偶函数．
选项C，由幂的运算可得，函数 $y=2^x+\dfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}$，所以函数 $y=2^x+\dfrac{1}{2^x}$ 是偶函数．