若集合 $E=\left\{\left(p,q,r,s\right) \left|\right. 0\leqslant p<s\leqslant 4,0\leqslant q<s\leqslant 4,0\leqslant r<s\leqslant 4 且 p,q,r,s\in {\mathbb{N}}\right\}$，$F=\left\{\left(t,u,v,w\right) \left|\right. 0\leqslant t<u\leqslant 4,0\leqslant v<w\leqslant 4 且 t,u,v,w\in {\mathbb{N}}\right\}$，用 $ {\mathrm{card}}\left(X\right) $ 表示集合 $X$ 中的元素个数，则 $ {\mathrm{card}}\left(E\right)+{\mathrm{card}}\left(F\right)= $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
此题考查的是计数问题，因为元素的取值相互影响，故可以先考虑某个元素的取值，按这个元素的取值进行分类．对于集合 $E$，当 $s=4$ 时，$p$、$q$、$r$ 可取 $3$、$2$、$1$、$0$，故个数为 $4^3=64$；
当 $s=3$ 时，$p$、$q$、$r$ 可取 $2$、$1$、$0$，故个数为 $3^3=27$；
当 $s=2$ 时，$p$、$q$、$r$ 可取 $1$、$0$，故个数为 $2^3=8$；
当 $s=1$ 时，$p$、$q$、$r$ 可取 $0$，故个数为 $1$；
所以集合 $E$ 中元素的个数为 $64+27+8+1=100$．
对于集合 $F$，当 $u=4$ 时，$t$ 可取 $3$、$2$、$1$、$0$；
当 $u=3$ 时，$t$ 可取 $2$、$1$、$0$；
当 $u=2$ 时，$t$ 可取 $1$、$0$；
当 $u=1$ 时，$t$ 可取 $0$；
故 $u$、$t$ 组共可取 $10$ 个，同理，$v$、$w$ 组也可取 $10$ 个，
所以集合 $F$ 中元素的个数为 $10\times 10=100$．
因此，$\mathrm{card}\left(E\right)+\mathrm{card}\left(F\right)=100+100=200$．
当 $s=3$ 时，$p$、$q$、$r$ 可取 $2$、$1$、$0$，故个数为 $3^3=27$；
当 $s=2$ 时，$p$、$q$、$r$ 可取 $1$、$0$，故个数为 $2^3=8$；
当 $s=1$ 时，$p$、$q$、$r$ 可取 $0$，故个数为 $1$；
所以集合 $E$ 中元素的个数为 $64+27+8+1=100$．
对于集合 $F$，当 $u=4$ 时，$t$ 可取 $3$、$2$、$1$、$0$；
当 $u=3$ 时，$t$ 可取 $2$、$1$、$0$；
当 $u=2$ 时，$t$ 可取 $1$、$0$；
当 $u=1$ 时，$t$ 可取 $0$；
故 $u$、$t$ 组共可取 $10$ 个，同理，$v$、$w$ 组也可取 $10$ 个，
所以集合 $F$ 中元素的个数为 $10\times 10=100$．
因此，$\mathrm{card}\left(E\right)+\mathrm{card}\left(F\right)=100+100=200$．
题目
答案
解析
备注
