很容易联想到正四面体是满足题意的，问题的关键在于当 $n>4$ 时的情形．不妨假设当 $n=5$ 时满足要求，结合正四面体进行考虑．空间几何体中几何性质较强的正四面体、正六面体、正八面体应对其性质有一定的了解．当 $n=2$ 时，可以；当 $n=3$ 时，为正三角形，可以；当 $n=4$ 时，为正四面体，可以；当 $n=5$ 时，可知其中任意 $3$ 点组成正三角形，不妨固定其中 $3$ 个点组成正三角形，记为 $\triangle ABC$，则另外 $2$ 个点（记为 $D$、$E$）一定在过 $\triangle ABC$ 中心 $O$，且与三角形所在平面垂直的直线上，再由当 $n=4$ 时，为正四面体知，四面体 $DABC$ 与四面体 $EABC$ 均为正四面体，此时，$DE=DO+EO=2DO$，设正四面体的边长为 $a$，则可知其高为 $\dfrac{\sqrt6}{3}a$，因此 $DE=\dfrac{2\sqrt6}{3}a>a$，所以正整数 $n=5$ 时，不可以．