本题需要根据幂的运算法则比较大小．由 $\left[t\right]=1$ 得 $1\leqslant t<2$；由 $\left[t^2\right]=2$，得 $\sqrt 2\leqslant t<\sqrt 3$；由 $\left[t^3\right]=3$，得 $3^{\frac{1}{3}}\leqslant t<4^{\frac{1}{3}}$；由 $\left[t^4\right]=4$，得 $\sqrt 2\leqslant t<5^{\frac{1}{4}}$；由 $\left[t^5\right]=5$，得 $5^{\frac{1}{5}}\leqslant t<6^{\frac{1}{5}}$．
因为 $\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{15} =3^5=243$，$\left(6^{\frac{1}{5}}\right)^{15}=6^3=216$，所以 $3^{\frac{1}{3}}>6^{\frac{1}{5}}$．
同理可得\[1<5^{\frac{1}{5}}<2^{\frac{1}{2}}<6^{\frac{1}{5}}<3^{\frac{1}{3}}<5^{\frac{1}{4}}<4^{\frac 13}<\dfrac{1}{3}<\sqrt 3<2.\]以上每一个范围在数轴上的示意图如图所示，由图可知，当 $n=1$，$2$，$3$，$4$ 时，$\left[t^n\right]=n$ 能同时成立；当 $n=5$ 时，$\left[t^3\right]=3$ 与 $\left[t^5\right]=5$ 不能同时成立，故 $n$ 的最大值为 $4$．