若定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(0\right)=-1$，其导函数 $f'\left(x\right)$ 满足 $f'\left(x\right)>k>1$，则下列结论中一定错误的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据 $f'\left(x\right)>k>1$，结合导数运算法则，可构造对应的函数，再结合函数单调性与特殊函数值，问题即可解决．可取函数 $f\left(x\right)=x^3+2x-1$，则\[f\left(0\right)=-1且f'\left(x\right)=3x^2+2>\dfrac 32=k>1.\]验证可得A、B、D都成立，C错误．
具体的说明如下：令 $ g\left(x\right)=f\left(x\right)-kx+1 $，则\[g\left(0\right)=f\left(0\right)+1=0 ,\]而\[\begin{split} g\left(\dfrac 1{k-1}\right)&=f\left(\dfrac 1{k-1}\right)-k\cdot\dfrac 1{k-1}+1\\&=f\left(\dfrac 1{k-1}\right)-\dfrac 1{k-1} .\end{split}\]因为\[g'\left(x\right)= f'\left(x\right) -k>0,\]所以 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left[0,+\infty\right) $ 上为增函数．
又因为 $ k>1 $，所以 $ \dfrac 1{k-1}>0 $，于是 $g\left(\dfrac 1{k-1}\right)>g\left(0\right)=0$．所以\[ f\left(\dfrac 1{k-1}\right)-\dfrac 1{k-1}>0,\]即 $ f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac 1{k-1}$．
具体的说明如下：令 $ g\left(x\right)=f\left(x\right)-kx+1 $，则\[g\left(0\right)=f\left(0\right)+1=0 ,\]而\[\begin{split} g\left(\dfrac 1{k-1}\right)&=f\left(\dfrac 1{k-1}\right)-k\cdot\dfrac 1{k-1}+1\\&=f\left(\dfrac 1{k-1}\right)-\dfrac 1{k-1} .\end{split}\]因为\[g'\left(x\right)= f'\left(x\right) -k>0,\]所以 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left[0,+\infty\right) $ 上为增函数．
又因为 $ k>1 $，所以 $ \dfrac 1{k-1}>0 $，于是 $g\left(\dfrac 1{k-1}\right)>g\left(0\right)=0$．所以\[ f\left(\dfrac 1{k-1}\right)-\dfrac 1{k-1}>0,\]即 $ f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac 1{k-1}$．
题目
答案
解析
备注
