对二次函数 $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$（$a$ 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
A，B，C，D 给出了四个条件，而确定二次函数的系数 $a,b,c$ 需要三个条件，我们可以从中选择三个条件去求 $a,b,c$，看求出的 $a$ 是否为整数，由此来判断错误的结论．由于选项 B，C 都在描述二次函数顶点，于是优先将它们放在一起考虑．
情形一：选项 B、C 同时正确．
此时可以由二次函数的顶点式设其解析式为 $f\left(x\right)=a\left(x-1\right)^2+3$，若选项 A 正确，则 $a=-\dfrac 34$，与 $a$ 是非零整数的条件不符；若选项D正确，则 $a=5$，符合 $a$ 为非零整数的条件．
情形二：选项 A、D 同时正确．
此时应该从二次函数的零点出发考虑．
① 选项 C 显然不正确，因为 $f\left(-1\right)<3<f\left(2\right)$，于是 $3$ 一定不是二次函数 $f\left(x\right)$ 的极值；
② 若选项 B 正确，则另一个零点为 $3$，此时可由二次函数的两根式设其解析式为 $f\left(x\right)=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)$，结合选项 D 正确可得 $a=-\dfrac 83$，与 $a$ 是非零整数的条件不符．
因此错误的结论是 A．
情形一：选项 B、C 同时正确．
此时可以由二次函数的顶点式设其解析式为 $f\left(x\right)=a\left(x-1\right)^2+3$，若选项 A 正确，则 $a=-\dfrac 34$，与 $a$ 是非零整数的条件不符；若选项D正确，则 $a=5$，符合 $a$ 为非零整数的条件．
情形二：选项 A、D 同时正确．
此时应该从二次函数的零点出发考虑．
① 选项 C 显然不正确，因为 $f\left(-1\right)<3<f\left(2\right)$，于是 $3$ 一定不是二次函数 $f\left(x\right)$ 的极值；
② 若选项 B 正确，则另一个零点为 $3$，此时可由二次函数的两根式设其解析式为 $f\left(x\right)=a\left(x+1\right)\left(x-3\right)$，结合选项 D 正确可得 $a=-\dfrac 83$，与 $a$ 是非零整数的条件不符．
因此错误的结论是 A．
题目
答案
解析
备注
