已知正四面体 $ ABCD $ 中，$ E $ 是 $ AB $ 的中点，则异面直线 $ CE $ 与 $ BD $ 所成角的余弦值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考大纲卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
本题考查异面直线的夹角，可以选择恰当基底，引入空间向量进行求解．在正四面体 $ABCD$ 中，设棱长为 $a$．
由向量的数量积可得\[\begin{split}\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{BD}&=\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}\right)\cdot\overrightarrow{BD}\\&=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BD}\\&=-\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{4}\\&=-\dfrac{a^2}{4} .\end{split}\]又 $\left|\overrightarrow{CE}\right|=\dfrac{\sqrt 3}{2}a$，$\left|\overrightarrow{BD}\right|=a$，设 $CE$ 与 $BD$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos\theta =\dfrac{\left|\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{BD}\right|}{\left|\overrightarrow{CE}\right|\left|\overrightarrow{BD}\right|}=\dfrac{\sqrt 3}{6}$．
由向量的数量积可得\[\begin{split}\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{BD}&=\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}\right)\cdot\overrightarrow{BD}\\&=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BD}\\&=-\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{4}\\&=-\dfrac{a^2}{4} .\end{split}\]又 $\left|\overrightarrow{CE}\right|=\dfrac{\sqrt 3}{2}a$，$\left|\overrightarrow{BD}\right|=a$，设 $CE$ 与 $BD$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos\theta =\dfrac{\left|\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{BD}\right|}{\left|\overrightarrow{CE}\right|\left|\overrightarrow{BD}\right|}=\dfrac{\sqrt 3}{6}$．
题目
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