已知 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}
x - y - 1 \leqslant 0, \\
2x - y - 3 \geqslant 0, \\
\end{cases}$ 当目标函数 $z = ax + by$ $\left(a > 0,b > 0\right)$ 在该约束条件下取到最小值 $2\sqrt 5 $ 时，${a^2} + {b^2}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
x - y - 1 \leqslant 0, \\
2x - y - 3 \geqslant 0, \\
\end{cases}$ 当目标函数 $z = ax + by$ $\left(a > 0,b > 0\right)$ 在该约束条件下取到最小值 $2\sqrt 5 $ 时，${a^2} + {b^2}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
解决此题的关键是能够得到 $a$，$b$ 所满足的关系式．由线性规划的知识，再结合目标函数所给的条件，可分析出目标函数在 $\left(2,1\right)$ 处取得最小值，于是得到 $a$，$b$ 所满足的线性关系，再利用 $a^2+b^2$ 的几何意义，即可解决问题．不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示：
目标函数 $y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{z}{b}$ 在 $A$ 点处截距最小，即 $z$ 取得最小值．由 $\begin{cases}
x - y - 1 =0 \\
2x - y - 3 = 0 \\
\end{cases}$ 可求得交点为 $A\left( {2,1} \right)$，则 $2a + b = 2\sqrt 5 $．${a^2} + {b^2}$ 的最小值表示原点 $\left( {0,0} \right)$ 到直线 $2a + b - 2\sqrt 5 = 0$ 的距离的平方 ${\left( {\dfrac{2\sqrt 5 }{\sqrt 5 }} \right)^2} = {2^2} = 4$．
目标函数 $y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{z}{b}$ 在 $A$ 点处截距最小，即 $z$ 取得最小值．由 $\begin{cases}x - y - 1 =0 \\
2x - y - 3 = 0 \\
\end{cases}$ 可求得交点为 $A\left( {2,1} \right)$，则 $2a + b = 2\sqrt 5 $．${a^2} + {b^2}$ 的最小值表示原点 $\left( {0,0} \right)$ 到直线 $2a + b - 2\sqrt 5 = 0$ 的距离的平方 ${\left( {\dfrac{2\sqrt 5 }{\sqrt 5 }} \right)^2} = {2^2} = 4$．
题目
答案
解析
备注
