对于选择题，可以通过以下技巧来判断函数是否是奇函数：① 赋值，函数在 $x=0$ 处有定义时，若为奇函数，则需满足 $f(0)=0$；② 可以通过函数奇偶性的运算性质来快速判断函数是否是奇函数；③ 用定义来判断．选项A，$y=2^x-\dfrac{1}{2^x}=2^x-2^{-x}$，令 $f\left(x\right)=2^x-2^{-x}$，则有 $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$，故函数 $y=2^x-\dfrac{1}{2^x}$ 是奇函数．
选项B，$y=x^3$，$y=\sin x$ 都是奇函数，由函数奇偶性的运算法则可知，$y=x^3\sin x$ 不是奇函数．
选项C，当 $x=0$ 时，$y=3\ne 0$，所以函数 $y=2\cos x+1$ 不是奇函数．
选项D，当 $x=0$ 时，$y=1\ne 0$，所以函数 $y=x^2+2^x$ 不是奇函数．