设 $\theta $ 为两个非零向量 ${\overrightarrow{a}},{\overrightarrow{b}}$ 的夹角，已知对任意实数 $t$，$\left |{\overrightarrow{b}} + t{\overrightarrow{a}} \right|$ 的最小值为 $ 1 $．则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
本题是多变量的问题，需要对 $\left |{\overrightarrow{b}} + t{\overrightarrow{a}} \right|$ 进行平方，转化为数量积的问题，选择主变量，从而探讨最小值．因为\[\left|\overrightarrow b+t\overrightarrow a\right|^2=\left.\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b+2\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a t+\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a t^2\right..\]所以当\[t=-\dfrac{2\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a}{2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a}=-\dfrac { \left|\overrightarrow b \right|} { \left|\overrightarrow a \right|} \cos \theta\]时上式取到最小值\[\dfrac{4 \left(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a\right)\left( \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b\right)-\left(2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b\right)^2}{4 \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a }=1.\]可得 $ \left|\overrightarrow b \right|^2\sin ^2\theta=1$．
所以A、C显然不对．
若 $\theta $ 确定，则 $ \left|{\overrightarrow{b}} \right|$ 唯一确定；而若 $ \left|{\overrightarrow{b}} \right|$ 确定时，$\sin ^2\theta$ 唯一确定，但 $\theta $ 不确定．
所以A、C显然不对．
若 $\theta $ 确定，则 $ \left|{\overrightarrow{b}} \right|$ 唯一确定；而若 $ \left|{\overrightarrow{b}} \right|$ 确定时，$\sin ^2\theta$ 唯一确定，但 $\theta $ 不确定．
题目
答案
解析
备注
