如图，某人在垂直于水平地面 $ABC$ 的墙面前的点 $A$ 处进行射击训练，已知点 $A$ 到墙面的距离为 $AB$，某目标点 $P$ 沿墙面上的射线 $CM$ 移动，此人为了准确瞄准目标点 $P$，需计算由点 $A$ 观察点 $P$ 的仰角 $\theta $ 的大小（仰角 $\theta $ 为直线 $AP$ 与平面 $ABC$ 所成的角），若 $AB = 15 {\mathrm{m}}$，$AC = 25 {\mathrm{m}}$，$\angle BCM = {30^ \circ }$，则 $\tan \theta $ 的最大值是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
本题的重点是把 $\tan\theta$ 转化为只含有一个变量的问题，转化的过程中，要充分利用 $AB$ 和 $AC$ 的长度．过 $P$ 作 $PH \perp BC$ 于 $H$，连接 $AH$，如图，
有 $\angle PAH=\theta$，
而\[\tan \theta=\dfrac{PH}{AH}=\dfrac{CH\cdot \tan \angle BCM}{AH}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot\dfrac{CH}{AH}.\]由正弦定理知\[\tan \theta=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot \dfrac{\sin \angle CAH}{\sin \angle ACH}=\dfrac{5\sqrt 3}{9}\sin\angle CAH.\]当 $\sin \angle CAH=1$ 时，$\tan \theta$ 取到最大值 $\dfrac{5\sqrt 3 }{9}$．
有 $\angle PAH=\theta$，而\[\tan \theta=\dfrac{PH}{AH}=\dfrac{CH\cdot \tan \angle BCM}{AH}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot\dfrac{CH}{AH}.\]由正弦定理知\[\tan \theta=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot \dfrac{\sin \angle CAH}{\sin \angle ACH}=\dfrac{5\sqrt 3}{9}\sin\angle CAH.\]当 $\sin \angle CAH=1$ 时，$\tan \theta$ 取到最大值 $\dfrac{5\sqrt 3 }{9}$．
题目
答案
解析
备注
