已知函数 $f\left( x \right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的奇函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\left| {x - {a^2}} \right| + \left| {x - 2{a^2}} \right| - 3{a^2}} \right)$．若 $\forall x \in {\mathbb{R}}$，$f\left( {x - 1} \right) \leqslant f\left( x \right)$，则实数 $a$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
本题先画出函数的图象，结合图象考虑函数的平移变换即可．函数 $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\left(|x-a^2|+|x-2a^2|-3a^2\right)$．在 $x\geqslant 0$ 时的解析式等价于 $f\left(x\right)=\begin{cases}-x,0\leqslant x\leqslant a^2,\\-a^2,a^2<x<2a^2,\\x-3a^2,x\geqslant 2a^2.\end{cases}$因此根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb R$ 上的大致图象如下，
函数 $y=f\left(x-1\right)$ 的图象是函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象向右平移一个单位后得到的，所以本题的含义为：函数向右平移一个单位后，对任意的 $x$，函数值都小于原来的函数．
结合图象可知，函数 $ y=f\left(x\right) $ 的图象向右至少平移 $ 6a^2 $ 个单位（不包括 $ 6a^2 $）即可，即 $ 6a^2<1 $，解得 $-\dfrac{\sqrt 6}6<a<\dfrac{\sqrt 6}6$．
函数 $y=f\left(x-1\right)$ 的图象是函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象向右平移一个单位后得到的，所以本题的含义为：函数向右平移一个单位后，对任意的 $x$，函数值都小于原来的函数．结合图象可知，函数 $ y=f\left(x\right) $ 的图象向右至少平移 $ 6a^2 $ 个单位（不包括 $ 6a^2 $）即可，即 $ 6a^2<1 $，解得 $-\dfrac{\sqrt 6}6<a<\dfrac{\sqrt 6}6$．
题目
答案
解析
备注
