本题可先根据特殊情况判断出 $k\geqslant \dfrac 14$，然后证明能取到 $\dfrac 14$．由已知得\[\left|f\left(\dfrac 12\right)-f\left(0\right)\right|=\left|f\left(\dfrac 12\right)\right|<\dfrac 12\left|\dfrac 12-0\right|=\dfrac 14,\]且取\[f\left(x\right)= \begin{cases} mx,0\leqslant x\leqslant \dfrac 12,\\ m\left(1-x\right),\dfrac 12<x\leqslant 1.\end{cases} \]其中 $m$ 为比 $\dfrac 12$ 小的任意正数，则 $f\left(x\right)$ 满足要求．而对所有 $x,y\in\left[0,1\right]$，$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leqslant \dfrac 12m$．$\dfrac 12m$ 可以无限接近 $\dfrac 14$，故 $k\geqslant \dfrac 14$．
又当 $k=\dfrac 14$ 时，对任意的 $x,y\in\left[0,1\right]$，不妨设 $x<y$，
若 $y-x\leqslant \dfrac 12$，则\[|f\left(x\right)-f\left(y\right)|<\dfrac 12|x-y|\leqslant \dfrac 14;\]若 $y-x> \dfrac 12$，则\[ \begin{split}|f\left(x\right)-f\left(y\right)|&=|f\left(x\right)-f\left(0\right)+f\left(1\right)-f\left(y\right)|\\&\overset{\left[a\right]}\leqslant \dfrac 12|x|+\dfrac 12|1-y|=\dfrac 12\left(1-y+x\right)\\&< \dfrac 14.\end{split} \]（推导中用到：[a]）综上知，$|f\left(x\right)-f\left(y\right)|<\dfrac 14$ 恒成立．
故 $k$ 的最小值为 $\dfrac 14$．