此题主要是用正余弦定理解三角形．题中有边 $a$，$b$ 及 $A$ 与角 $B$ 的关系，可以尝试用正弦定理，求得角 $A$，$B$，然后即可得到角 $C$，即可解决问题．由正弦定理并结合题目可得 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin 2A}$．由二倍角公式可知 $\sin 2A=2\sin A\cos A$，故 $\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{\sqrt 3}{2\sin A \cos A}$，于是 $\cos A=\dfrac{\sqrt 3}{2}$．又 $ 0^\circ< A<180^\circ$，由任意角的三角函数的概念可得 $ A=30^\circ$，所以 $ B=60^\circ$，因此 $ C=90^\circ$．故 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+\left(\sqrt 3\right)^2}=2$．