分析条件，式子中有三个变量，含有一个或两个变量求代数式的最值作题过程中经常遇到，故而可以通过等式关系尝试用其它两个来表示其中一个变量，从而解决问题．应用均值不等式时，要写出“等号”成立的条件．由题意可知\[z = {x^2} - 3xy + 4{y^2}\left(x,y,z \in {{\mathbb{R}}^ + }\right),\]于是\[\begin{split}\dfrac{z}{xy} &= \dfrac{{{x^2} - 3xy + 4{y^2}}}{xy} \\&= \dfrac{x}{y} + \dfrac{4y}{x} - 3 \\& \overset{\left[a\right]}\geqslant 2\sqrt {\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{4y}{x}} - 3 \\& = 1.\end{split}\]（推导中用到：[a]）
当且仅当 $\dfrac{x}{y} = \dfrac{4y}{x}$，即 $x = 2y$ 时" $ = $ "成立，此时 $z = 4{y^2} - 6{y^2} + 4{y^2} = 2{y^2}$．所以\[\begin{split}x + 2y - z &= 2y + 2y - 2{y^2} \\&= - 2{y^2} + 4y \\&= - 2{\left(y - 1\right)^2} + 2.\end{split}\]所以当 $y = 1$ 时，$x + 2y - z$ 取到最大值 $ 2 $．